Análisis matemático de variaciones compensatorias y equivalentes simples de una función Cobb-Douglas, a partir de la aproximación de Hicks

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Apuntes sobre el libro “La teoría del todo” de Stephen Hawking

Primera conferencia: IDEAS SOBRE EL UNIVERSO

La teoría geocentrista, planteada por Aristóteles y Ptolomeo, describe la tierra como un cuerpo esférico alrededor del cual giran los demás astros. La iglesia católica respaldó esta idea, ya que deja espacio para el cielo y el infierno {más allá de las estrellas y dentro de la tierra, supongo}. El modelo heliocentrista de Copérnico afirma que los planetas se mueven en órbitas circulares alrededor del sol. Galilei y Kepler, usando como principal ayuda el telescopio, describen tales órbitas como elípticas, descartando la perfección de la trayectoria círcular. A parte de esto, Galileo observó que Jupiter tiene satélites orbitando alrededor suyo, lo que significa que no todos los astros giran alrededor de la tierra. Se podría contraargumentar diciendo que los astros describen complicadísimas trayectorias alrededor de la tierra que hacen parecer que giran en torno a Júpiter. Por principio de probabilidad se descartó inmediatamente la teoría geocéntrica. Finalmente, se aceptó el heliocentrismo.

Newton publicó principia mathematica naturalis causae, libro en el cual se menciona por primera vez la teoría de la gravedad. Planteó el siguiente problema: si las estrellas deben atraerse unas con otras por esta teoría, ¿Por qué no se juntan? El argumento principal del padre de la física moderna fué que existe un número infinito de estrellas distribuidas equidistantemente, lo que provoca que las fuerzas entre cada una se anularan. Dicha afirmación engendró el dilema de los infinitos centros del universo: Si existen infinitas estrellas a cada lado en todos los puntos ¿todos los puntos son el centro del universo? {desde la teoría de la relatividad, esto no es posible}. Olbers, filósofo alemán, argumentaba que si existía un número infinito de estrellas, el espacio sería igualmente brillante como la radiación del sol. La contraargumentación más lógica fue que que los rayos de las demás estrellas masivas se perdían en los demás masas obstáculo. Sin embargo, estas últimas debían, entonces, calentarse y brillar igual que las demás estrellas. Por consiguiente, el universo no puede tener infinitos centros.

El principio del universo

En 1929, Edwin Hubble descubre que las estrellas, entre más lejanas, más rápido se distancios de nosotros. Si extrapolamos el tiempo hacia el pasado, debe haber un momento en el que el volumen del universo fue infinitesimalmente pequeño, haciendo su densidad infinita. Esto se concluye debido al conocimiento de la ecuación de la densidad.

Preguntas: Las estrellas lejanas son las que se siguen alejando, eso es lo fundamental de la teoría de la expansión universal. Esta premisa presenta un problema; si el volumen del universo en algún punto del tiempo fue muy cercano a, todas las estrellas llegaron a estar muy juntas, Sin una fuerza adicional ¿se hubieran alejado en primer lugar?} {se explica más adelante

 

Segunda conferencia: EL UNIVERSO EN EXPANSIÓN

La galaxia en la que habitamos, llamada la Vía Láctea, se compone de nuestro sol y las estrellas cercanas. Existen aproximadamentre 100.000 millones de galaxias que contienen cada una unas 100.000 millones de estrellas (en total son 1022estrellas). Entre cada uno de estos conjuntos de astros se genera un espacio vacío que crece a medida que se separan. {esto responde parcialmente la pregunta del primer capítulo, lo que se aleja no son las estrellas de la misma galaxia, sino las galaxias entre sí}

Se puede calcular la distancia de las estrellas a partir de la luminosidad y la distancia. Hubble lo hizo, y a partir del espectro de colores determinó que las galaxias estaban alejándose de nosotros, de hecho, entre más lejos estuvieran, con más rapidez se distanciaban. Por fuerza gravitacional, se pensaría que debe llegar un momento en el que la velocidad de alejamiento de galaxias llegue a 0 y luego empiece a ser negativa, sin embargo si la rapidez de alejamiento supera un valor crítico, la gravedad nunca será lo suficientemente intensa para atraer a los cuerpos y el universo seguirá expandiéndose para siempre. (Constante cosmológica de Einstein que da expanción eterna al espacio-tiempo).

Modelos de Friedmann: Friedmann, meteorólogo ruso nacido en 1888, desarrolló dos hipotesis: 1.Universo parece igual en todas las direcciones, 2. Esto también sería cierto si observáramos el universo desde cualquier otro lugar. {Se pensaría que estas propuestas replantean el dilema de los infinitos centros del universo}. Penzias y Wilson, con un detector de microondas, confirmaron que el ruido producido por la radiación del espacio no varía más que una parte en 10000, es decir, el universo es similar en radiación en todas las direcciones. Si observamos que todas las galaxias se están alejando y además el universo parece similar en todas las direcciones, o estamos en el centro del universo o el universo podría parecer igual en todas direcciones desde cualquier otra galaxia (segunda hipótesis de Friedmann). Por modestia y no aceptar una teoría “Galacto-centrista”, se aceptó la segunda opción (un ejemplo es que si se infla un globo que tiene pintados puntos en su superficie, estos se alejan entre si, pero ninguno es el centro).

Tres tipos de modelos que pueden aceptar las dos hipótesis de Friedmann:

  1. El universo se expande a una velocidad suficientemente lenta para que la atracción entre galaxias haga que la rapidez sea nula y luego negativa. Las galaxias se alejarían unas de otras y luego se contraerían. La gravedad es tan fuerte que el espacio se curva a sí mismo, haciéndolo de una forma similiar a la tierra. {pd. El universo no se contraería totalmente hastá mínimo otra vez el tiempo que ha existido, de la misma forma que una bala arrojada hacia arriba tarda la misma cantidad de tiempo en subir que en bajar. El universo todavía se expande, esto quiere decir que para para volver a colapsar se necesitaría primero que la velocidad de alejamiento entre las galaxias fuera cero y luego se empezaran a contraer, por lógica, la contracción duraría lo mismo que la expansión}
  2. El universo se expande tan rapidamente que la atracción nunca puede detenerlo, sin embargo, lo frena un poco. Con el tiempo, las galaxias se alejan a una velocidad constante.
  3. Se presenta una velocidad justa para evitar que el universo vuelva a colapsar, la separación empieza siendo 0 y aumenta para siempre. Sin embargo, la velocidad a la que las galaxias se alejan cada vez tiende a 0.

Sólo si la densidad media de las galaxias es mayor que un punto crítico, la gravedad detendrá la expansión y hará que el universo se contraiga. La incertidumbre sobre este tema es grandísima ya que no se puede saber si hay algún tipo de materia que no se pueda observar, a parte de la materia oscura. Este tipo de materia, aunque no se puede ver, se puede comprobar que existe por su efecto en la gravitación de los demás astros, pero no se puede ver. Aún así, la densidad conocida  es menor que el 10% del valor crítico en el que el universo deja de expandirse.

El Big Bang: Todas las soluciones derivadas del modelo de Friedmann plantean que debió ocurrir el Big bang hace entre 10.000 y 20.000 años. Eso predice un punto singular en el universo (el centro), del cual se desprendió todo. Para refutarlo, se crearon teorías como la del estado estacionario, que consiste en que, a medida que se crean espacios entre las galaxias, nuevas galaxias se formaban continuamente en los espacios entre ellas. Esto propone que el número de galaxias u objetos similares en el espacio A debe ser el mismo para el espacio B, siempre y cuando A y B tengan el mismo volumen. Sugiere la eternidad del universo en cualquier dirección del tiempo. Cabe resaltar que, por la demostración que el universo era más denso en el pasado, la teoría se abandonó.

Otra de las teorías que intentaron derrumbar  el Big Bang fue que las galaxias no se alejan de forma exclusivamente lineal unas de otras, sino que tienen también velocidades laterales. Si se hubiera aceptado, significaría que no todas las partículas colisionaron, sino que podrían haber estado muy cerca, en una densidad gigantesca, más no infinita y con un volumen limitante con 0, más no 0. Después de la generalización del primer modelo de Friedmann, la comunidad científica rechazó esta teoría.

Hawking se dio cuenta que si invertía el tiempo del colapso de una estrella masiva que se convierte en agujero negro, seguirían cumpliéndose los modelos de Friedmann a gran escala. La idea básica es que toda contracción, al cambiar el sentido del tiempo es una expansión. Si bien toda estrella masiva que colapsa debía terminar en una singularidad, entonces, el proceso inverso de una singularidad debe ser necesariamente en una expansión. Este es el fundamento del Big bang.

Preguntas: Aunque se explica un poco lo de las estrellas distantes y las cercanas de las peguntas del capítulo 1. En algún punto muy cercano al big bang, todas las galaxias debían ser extremadamente cercanas,¿por qué se alejarían en primer lugar?¿Cómo se impulsaron? ¿Cómo alcanzaron la velocidad necesaria para romper la fuerza gravitacional?

 

Tercera conferencia: AGUJEROS NEGROS

La gravedad afecta las partículas pero su efecto sobre las ondas no es claro. Para resolver este dilema, la mecánica cuántica planteó que la luz presenta una dualidad de partícula y onda al mismo tiempo. Una primera aproximación al concepto de agujeros negros se dio en 1783 cuando se afirmó que una estrella suficientemente grande y densa podría tener un campo gravitatorio tan intenso que no dejaría escapar la luz. No las podríamos ver, sin embargo, se podría seguir sintiendo su atracción gravitatoria.

Comprender el ciclo vital de una estrella es muy importante para entender el proceso de formación de un agujero negro. Gran cantidad de partículas de gas (especialmente hidrógeno) se empiezan a atraer y por lo mismo, a contraerse. A medida que ocurre este fenómeno, se presenta roce entre las mismas partículas de gas, aumentando su temperatura. Los átomos de hidrógeno se fusionan para formar helio (esta reacción es lo que hace que brillen las estrellas). La estrella adopta su forma porque el calor de la fusión incrementa la presión del gas “del centro hacia afuera” y contrarresta la atracción gravitatoria.

Una vez este gas se acabe, la estrella se enfriará y contraerá. Por esto, las particulas empiezan a alejarse unas de otras, ya que tienen velocidades diferentes (Principio de exclusión de Pauli). Esto hace que la estrella se expanda y así contrarreste el efecto de la gravedad. Sin embargo, si la estrella es suficientemente densa, el efecto de la gravedad será mayor que el de repulsión. El límite de Chandrasekhar dice que una estrella fría (que ha consumido todo el gas) de aproximadamente una vez y media la masa del sol no puede mantenerse contra su gravedad.

Una estrella de masa menor que el límite de Chandrasekhar tiene dos posibles destinos; 1. Deja de contraerse con el tiempo y se asenta en un estado final como una enana blanca, que es un astro pequeño y muy denso, se mantiene gracias al principio de exclusión de los electrones. 2. Estrella de neutrones, estas se mantienen por la repusión del principio de exclusion entre neutrones y protones, no tienen electrones.

Una estrella con masa por encima del límite de Chandrasekhar colapsaría que el volumen tienda a 0 (y la densidad a infinito). Cuando esto sucede, el campo gravitatorio en su superficie se hace más intenso, por lo que los conos de luz se curvan hacia dentro, desplazando la luz hacia un campo infrarrojo. Si la luz es succionada, se supone que nada más puede escapar de la atracción, esta es la característica principal de un agujero negro.

El tiempo es relativo, un astronauta que intente enviar una señal desde una estrella justo en el momento del colapso, quedaría detenido en un periodo de tiempo infinito (al igual que la señal), visto desde la nave espacial. La fuerza gravitatoria en la lejanía no cambiaría, el campo gravitatorio sobre la superficie si. Por esto es que se dice que los agujeros negros tienen una suerte de censura, nadie puede saber que pasa desde afuera de la singularidad.

Forma de los agujeros negros.

Cuando los agujeros negros se asientan, se comportan como una bola de fluido. Aunque inicialmente no sean perfectamente esféricos, a medida que colapsaran se volverían así debido a la emisión de ondas gravitatorias. Kerr introdujo la idea de que la forma los agujeros negros solo dependen de su masa y velocidad de rotación, si la rotación es nula entonces este sería perfectamente redondo. Sin embargo, si la rotación es distinta de cero, la singularidad se abombará cerca del ecuador, creando una esfera achatada.

Pruebas de agujeros negros.

En 1967, se descubrieron estrellas de neutrones en rotació de apenas 10 km de radio. No es dificil imaginar que una estrella tan grande sea capaz de seguir colapsando sobre si misma hasta lograr volumenes infinitesimalmente pequeños. Además, se han observado varios sistemas en los que una estrella visible está orbitando en torno a alguna estrella invisible, es decir, que el agujero negro tiene fuerza de atracción gravitacional sobre los demás cuerpos.

Cabe considerar que hay agujeros negros de masas mucho más pequeñas que el sol. No pueden haberse formado por colapso gravitatorio, por lo que solo pudieron haber sido formados por fuerzas externas muy grandes.

Preguntas: ¿Cuáles pudieron haber sido esas fuerzas muy grandes?. Si la teoría de Hawking se basa en que hubo un momento en el universo en el que el volumen tendía a 0, entonces ¿el universo tuvo que haber sido al principio infinitamente caliente para evitar colapsar ante la gravedad? ¿es el primer colapso del universo? ¿es posible que un aumento súbito en la temperatura provocara que el punto inicial del universo la fuerza de repulsión venciera la fuerza gravitacional y por eso se pudiera alcanzar la velocidad necesaria para desprenderse de la fuerza gravitacional y poder empezar a expandirse?

 

 

 

Cuarta conferencia: LOS AGUJEROS NEGROS NO SON TAN NEGROS

 

El horizonte de sucesos es el límite entre un agujero negro y el resto del universo. Este límite está formado por rayos de luz que se quedan a punto de escapar, aquellos que se quedan adentro son absorbidos. Los rayos en el horizonte  tienen que estar moviendose paralelamente o alejándose unos de otros, no se pueden juntar, porque “tropezarían”.  El área del horizonte de sucesos aumenta cada vez que materia o radiación cae dentro del agujero, esto quiere decir que tiene una propiedad no disminutiva.

Las propiedades de la entropía (desorden de un sistema según la segunda ley de termodinámica) presenta algunas similaridades con las del área del horizonte de sucesos: no disminuyen con el tiempo y si se juntan dos sistemas, la entropía del sistema combinado es mayor que la suma de las entropías individuales. Esta segunda ley es estadística, lo que quiere decir que sólo se cumple en la gran mayoría de los casos. Con una primera aproximación se diría que hay una forma muy fácil de violar esta ley, tirar una caja de gas dentro de un agujero negro, la entropía fuera del agujero negro disminuye, violando el primer apartado de la ley. Se podría argumentar que la entropía total (dentro y fuera del agujero) sigue siendo igual, pero para ello hay que demostrar primero que el agujero negro tiene entropía.

Si es verdad que este tipo de singularidades tienen entropía, entonces deben tener temperatura y, por consiguiente, radiación a un cierto ritmo. Por definición, los agujeros negros no emiten nada, pareciera que el área del horizonte de sucesos de un agujero negro no puede ser estudiada a partir de esta ley. Sin embargo, Hawking descubrió que los agujeros negros, con o sin rotación, deben crear y emitir partículas a un ritmo estacionario. De hecho, el espectro de partículas emitidas es exactamente el que es emitido por un cuerpo caliente.

La temperatura del agujero negro sólo depende inversamente de su masa. La emisión de partíuclas no puede ser nula, porque eso significaría que todos los campos tendrían que ser nulos igualmente (incluidos el gravitatorio y el electromagnético, los cuales se ha demostrado que son diferentes a 0). Esta emisión se explica el concepto de parejas de partículas virtuales (que no pueden ser vistas con un detector de partículas). Por conservación de energía, una partícula es positiva y otra es negativa, ya que se juntan para aniquilarse poco después de su creación. La partícula negativa (virtual) puede caer dentro del agujero, por lo que no puede aniquilar a la particula positiva (entonces se vuelve una partícula real). La segunda cae en el agujero o escapa al infinito como partícula real. Cuanto más pequeño el agujero negro, menor distancia recorre la partícula que ingresó de primera antes de volverse real, así que el ritmo de creación de partículas reales sería mayor y la temperatura aparente más alta.

Como el agujero está emitiendo radiación por su temperatura, pierde masa, por lo que incrementa aún más su temperatura y acelera el proceso. Cuando la masa tiende a cero,  lo más razonable es que el agujero desapareciera por completo en un estallido. Sin embargo, para las singularidades formadas de estrellas de masas por encima del límite de Chandrasekhar, la tasa de evaporación es tan baja que tardarían unos 1066 años en desaparecer. El universo sólo tiene 1010 años.

Sin embargo, los agujeros negros creados por fuerzas externas en el caos del universo primitivo, tendrían una mayor temperatura inicial, ya que tienen menos masa, por lo que se desapareceren más rápido. Se estima que los agujeros primordiales con una masa de 1.000.000.000 de toneladas ya se han evaporado por completo. Sin  embargo, algunos un poco mayores aún pueden estar al borde de su extinción, y seguirían emitiendo radiación.

Para probar esta teoría se debe buscar las emisiones de aquellos agujeros primordiales que estén al borde de la extinción. Las observaciones de rayos gamma no ofrecen prueba a favor de ellos, pero indican que su masa máxima es una millónesima de la densidad de masa en el universo. Por esto, es poco probable que uno esté suficientemente proximo a nosotros para observarlo. Es mucho más probable que un agujero negro se encuentre en una galaxia que en los espacios vacíos, por lo que quizás se pueda detectar uno en esta galaxia o en las contiguas. Una de las dificultades en la búsque de agujeros negros es que si este ha  emitiendo radiación desde hace mucho tiempo, no es muy factible asumir que dentro de relatvamente años vaya a explotar y emitier la radiación necesaria para poder ser detectado.

La relativa pequeña cantidad de agujeros negros primordiales parece indicar que el universo fue muy poco caótico, suave y uniforme. Un agujero negro primordial debe estar emitiendo muchos rayos gamma y X. Esto llevaría a pensar que la teoría de que la gravedad del agujero negro es definitiva no es tan cierta, la energía puede escapar de ella. Si una masa cae dentro de un agujero negro, la energía equivalente a dicha masa será devuelta al universo en forma de radiación.

Preguntas: Si la energía puede escapar en forma de radiación ¿por qué la luz no puede escapar en calidad de onda o partícula? O ¿quizás si puede pero en una medida muy baja?. ¿O quizás esta se transforme en radiación?.

 

 

 

 

Quinta Conferencia: EL ORIGEN Y EL DESTINO DEL UNIVERSO

El modelo del Big Bang Caliente supone que a medida que el universo se fue expandiendo de un único punto, las partículas se fueron enfriando. Llegó cierto punto en que estaban suficientemente frías para atraerse. En el propio Big Bang, el universo aparentemente era infinitamente caliente. Luego, empezó a caer la temperatura a velocidades extraordinarias pero desaceleradas. Al segundo de la singularidad, la temperatura decrecío 10.000 millones de grados. Lo cual es mucho en comparación al descenso de los siguientes 100 segundos, aproximadamente 1000 millones de grados. Las partículas se empezaron a juntar y a formar núcleos de deuterio (Hidrógeno pesado), helio, litio y berilio, en ese orden y cantidad. La principal prueba de esta teoría recae en que Penzias y Wilson descubrieron la radiación residual de la gran explosión.

Durante un millón de años, el universo siguió expandiéndose sin que sucediera mucho más. Una vez la temperatura cayó lo suficiente, se formaron los átomos de elementos propiamente dichos. Regiones más densas frenaron la expansión por la gravedad extra, esto hizo que empezaran a colapsar de nuevo, rotando cada vez más rápido. Cuando una región gira con la suficiente velocidad, equilibra la fuerza de gravedad y deja de acelerar (porque se volvería a expandir). Así se crearon las galaxias rotatorias.

Con el tiempo, en estas galaxias, nubes de gas se juntaron por la gravedad. Esto hizo que se calentaran y se empezara a formar helio, el cual ardió millones de años, este proceso formó estrellas primarias. Las mas grandes de ellas agotaron su hidrógeno en poco tiempo, se contrajeron y empezaron a formar elementos más pesados. Las regiones centrales colapsaron hasta un estado muy denso (una enana blanca, una estrella de neutrones o un agujero negro). Las regiones exteriores de las estrellas primarias se alejaron en una explosíon llamada supernova. La disperción de elementos más pesados en el gas de la galaxia proporcionó la materia prima para la siguiente generación de estrellas.

El sol (estrella de segunda o tercera generación) se formó a partir de una nube de gas en rotación, la mayor parte del gas se dispersó o pasó a formar de él. Una fracción de los elementos más pesados pasaron a constituir los cuerpos que decriben orbitas en torno a él (los planetas).

Prguntas abiertas de la teoría del Big bang caliente: ¿Por qué estaba tan caliente el universo primitivo? ¿por qué es el universo tan uniforme a gran escala? ¿por qué parece igual en todos los puntos del espacio en todas direcciones? ¿por qué el universo tuvo una velocidad de expansión perfecta? ¿Cuál era el origen de las fluctuaciones de densidad que fueron necesarios para la conformación de galaxias? La teoría de la relatividad no puede responder estas preguntas, ya que deja de ser válida en las singularidades. Ya que el estado inicial del universo parecieria haber sido escogido con gran precisión, deja la puerta abierta a la posibilidad de un Dios creador.

Modelo inflacionario

Para evitar las dificultades que plantea el entendimiento de las etapas tempranas del Big Bang caliente, se sugirió que el universo primitivo podría haber tenido un periodo de expansión muy rápida (inflacionaria). Conforme el universo se expande y enfría, se producjouna transición de fase y se rompió la simetría entre las fuerzas. Una gota de agua es simétrica, igual en cada punto y dirección; cuando se congela se rompe la simetría, es decr, los pedazos de hielo tienen posiciones definidas y están alineados en alguna dirección. Si el espacio se enfría más allá del punto en el que se rompe la simetría, el universo tendría más energía, lo que produciría un efecto antigravitatorio (esto actuaría como la constante cosmológica de Einstein sobre la expansión del universo, la cual consideró su mayor error).

La creación de partículas se puede entender a partir del concepto de que la energía total del universo es cero. La matería del universo está hecha de energía positiva, mientras que los campos gravitatorios de energía negativa. Es decir, mayores campos gravitatorios, creados a partir de una distancia más grande entre los cuerpos, generan mayor cantidad de partículas en el universo. Este proceso se puede entender por la teoría de la conservación de la energía, además, solo sucede en la expansión inflacionaria, ya que la densidad de energía en ese momento se mantuvo constante mientras el universo se expandía (en la expansión actual, la densidad de energía se reduce). Así se explican la gran cantidad de partículas en el universo.

El final de la expansión inflacionaria

Las preguntas son: ¿en qué momento pasó el universo de un estado inflacionario a uno de velocidad constante crítica como lo es el de hoy en día? Y ¿qué lo  hizo pasar a ese estado? Una vez se rompa la simetría del universo, se recalentaría un poco, por lo que el universo se seguiría expandiendo y enfriando, no de forma inflacionaria sino del modo del Big Bang caliente. La propuesta original decía que el rompimiento de la simetría se dió de forma repentina en algunas regiones que se fueron juntando. Sin embargo, Hawking señaló que esos espacios se estarían alejando unos de otros a velocidades muy grandes como para juntarse. No obstante, urge la idea de que si las regiones fueran muy grandes, se solucionaría el problema. Para que esto fuera cierto, todo el universo debe estar contenido en una misma región que hizo la transición al mismo tiempo. Finalmente, se demostró que la simetría se tuvo que haber roto en todos los lugares del universo al mismo tiempo, no sólo dentro de las regiones propuestas.

Gravedad cuántica

Se necesitan leyes físicas que ayuden a explicar los primeros estados del universo. Sin embargo, es dificil formularlas en las singularidades, nada derivado de las observaciones puede dar una pista sobre estas. Lo único que se sabe a ciencia cierta sobre las singularidades es que el campo gravitatorio aumenta. La teoría cuántica empieza a cobrar importancia, ya que en ella, es posible que las leyes ordinarias de la ciencia sean válidas en cualquier lugar. La probabilidad de que una partícula pase por un punto se encuentra al sumar las ondas asociadas con cada posibilidad de que pase por él. Estas ondas no están tiempo real, sino en tiempo imaginario; en él, la distinción entre tiempo y espacio desaparece por completo, por lo que no hay diferencia entre la dirección temporal y la espacial (espacio-tiempo euclideo). Sin embargo, la suma de estas posibilidades  en tiempo imaginario calcula cual es la probabilidad de que suceda un evento en el tiempo real.

La teoría cuántica ofrece una tercera probabilidad al comportamiento del universo (las dos anteriores eran una singularidad o la eternidad). Es posible que el espacio-tiempo sea finito en extensión y no tenga singularidades que formen una frontera o borde. Como no hay frontera, no hay necesidad de especificar el comportamiento en esta. Por consiguiente, no existe momento en que las leyes de la física cuántica dejen de ser válidas. “La condición de frontera del universo es que no tiene frontera”, es decir que el universo no es creado ni destruido, simplemente es (aún así, es finito). Esto es tan solo una propuesta.

Con el modelo de ausencia de fronteras la probabilidad de que el universo siguiera la mayor parte del las historias posibles es despreciable, es decir,hay unas que son mucho más probables que otras. El origen del universo en tiempo real parece muy diferente, empezó en un punto mínimo, y se expandió como en el modelo inflacionario. Sin embargo, la física cuántica afirma que no se tuvo que crear de algún modo correcto, el  universo solamente se expandiría hasta un estado muy grande y finalmente colapsaría.

El principio de incertidumbre alega que el universo primitivo no fue completamente uniforme, lo que explica las variaciones en la densidad y con ello la formación de las galaxias, luego de las estrellas, en seguida de los cuerpos que orbitan las estrellas y en últimas, nosotros. Además, el modelo inflacionario se comprueba hasta el origen de las galaxias. Mientras el universo tuviera una singularidad, se podría suponer que esta fue originada por un agente exterior. Si se demuestra que el universo es autocontenido, no debe ser creado ni destruido, simplemente sería. Si se pudiera comprobar esta teoría, se descartaría la posibilidad de la existencia de un agente exterior.

 

 

 

 

 

 

Sexta conferencia: LA DIRECCIÓN DEL TIEMPO.

Existen tres combinaciones de operaciones conocidas en física como CPT. C es el cambio de partículas por antipartículas, P significa tomar la imagen de modo que izquierda y derecha se intercambien y T invertir la dirección de movimiento de todas las partículas. Las leyes de la física no se alteran para ninguna de estas tres operaciones. De ahí sale que el dicho que las leyes de la física no distingan de pasado y futuro y la explicación de que Hawking se haya podido imaginar el principio del universo cambiando la dirección del tiempo de un universo en expansión.

Flechas del tiempo:

Son aquellos conceptos que dan una dirección al tiempo y distinguen el pasado del futuro, en el momento se conocen tres tipos de flechas del tiempo.

  1. Termodinámica, cumple la segunda ley de la termodinámica según la cual la entropía o el desorden aumenta siempre con el tiempo. El desorden tenderá a aumentar si el sistema inicial es de orden superior. {por contrarrecíproco, si se invirtiera la flecha del tiempo termodinámica, ¿se podría decir que el principio del tiempo era infinitamente ordenado? ¿existe una bicondicionalidad en la que todo tiempo pasado fue más ordenado y todo futuro más desordenado? }
  2. Psicológica, la dirección en la que sentimos que el tiempo pasa, es decir la dirección a la que todas las personas y seres vivos del mundo están acostumbrados. Recordamos el pasado y no el futuro. Apunta en el mismo sentido que los computadores. Aunque digamos que podemos ordenar cosas, la energía gastada en organizar estas genera más desorden en forma de energía {¿para qué tender la cama entonces?}
  3. Cosmológica: la dirección del tiempo en la que el universo se está expandiendo y no contrayendo.

La flecha termodinámica apunta en el mismo sentido que la flecha psicológica, ya que medimos el tiempo en la dirección en la que aumenta el desorden. Teniendo en cuenta estos factores, nuestro sentido del tiempo sería aquel en el que el universo se está expandiendo y no la dirección opuesta.

Si la flecha cosmológica empezara a contraerse, ¿se invertirían también las otras dos? Aunque Hawking creyó mucho tiempo que sí, se comprobó que  la ausencia de frontera temporal no exigía que la frase de contracción del universo fuera necesariamente la inversa de la fase de expansión. La condición de ausencia de frontera implicaba que el desorden seguiría aumentando durante la contracción. Es decir que las flechas del tiempo termodinámica (y con ello la psicológica) no se invertirían por singularidades como agujeros negros o la probable contracción del universo.

Séptima conferencia: LA TEORÍA DEL TODO

Para encontrar una gran teoría unificadora se deberían combinar las tres teorías parciales de leyes de la naturaleza; la relatividad general (clásica), la teoría de la gravedad (física cuántica) y las teorías parciales que gobiernan a las fuerzas débiles, fuertes y electromagnéticas. La gran dificultad está en aplicar el principio de incertidumbre de la física cuántica en la teoría clásica, lo que equivale a aceptar infinitos impresionantemente tontos, como por ejemplo que la atracción gravitatoria entre partículas y antipartículas curvarían el universo hasta un tamaño infinitamente pequeño.

Para lidiar con este tipo de problemas, se ha optado por cancelar los infinitos restándolos entre sí (lo cual es un método matemático muy discutible llamado normalización). Aún así, este proceso sólo daría soluciones infinitas, por lo qué habría que diligenciar mucho tiempo en descubrir si alguna de estas soluciones realmente cancela los infinitos. Hay mucha probabilidad de error, por lo que los científicos finalmente se desalentaron.

La opinión científica se decantó a favor de la teoría de cuerdas. En ésta, un objeto básico no es una partícula en un solo punto, sino que tiene longitud pero ninguna otra dimensión. Es decir, ocuparía una línea en el espacio para cada instante en el tiempo. Se argumenta que dos trozos pueden unirse para formar uno sólo o dividirse en dos. Así se explican fuerzas como la fuerza gravitatoria del sol sobre la tierra. Las predicciones de esta teoría son idénticas a las de la relatividad general, pero no concuerdan en distancias muy pequeñas. Además, la teoría de cuerdas sólo parece tener sentido si existieran diez o veintiseis dimensiones. Si estas fueran reales, se sugiere que están curvadas en un espacio muy pequeño, por lo que no las advertimos.

La teoría de cuerdas sugiere que, en el principio, el universo estuvo muy curvado y se “desenrrollaron” tres dimensiones espaciales y una temporal. Esta característica es fundamental para poder explicar nuestra existencia, más o menos dimensiones hubieran hecho imposible nuestro surgimiento.

La experiencia parece indicar que, por lo menos en un tiempo considerable, no vamos a encontrar ninguna teoría final del universo, sino que cada vez se irá describiendo con mayor precisión, a partir del desarrollo de la tecnología y la aceptación de nuevas teorías. Hawking parecía muy convencido (en 1996, año en el que se dictaron las conferencias) que la teoría de cuerdas parecía la más plausible de todas. “Quizá haya solo una o un pequeño número de completas teorías unificadas que sean autoconsistentes y que permitan la existencia de seres inteligentes”.

 

Problema matemático #3: planteamiento del problema

Imaginemonos un número x, entonces los números que multiplican las potencias (los de las columnas) deberán ir, justamente, hasta x-1 (recuerde: para 5^x se usaron del 0 al 4, para el binario del 0 al 1 para el ternario del 0 al 2). Esto quiere decir que:

Esto quiere decir que todos los polinomios se pueden expresar también de esta forma.

el problema: si tenemos un escenario en el que tenemos todas las casillas “llenas”(osea, con todas las columnas en x-1) hasta, digamos, x^3,y sumamos 1, eso nos x^4. El proceso:

Si quiere, compruebelo para cualquier x y cualquier n.

Por consiguiente

Para una potencia n, esto se podrá expresar como

Para eliminar el 1, que es constante, se me ocurrió derivar.

Ahora, esto afirma que cualquier número entero a una potencia n diferente de 0 (que puede ser 1), es, la suma de dos números. A mi me sonó muy parecido al teorema que dice que todos los números enteros pueden ser vistos como la suma de dos números primos. Si alguien pudiera demostrar que esos dos números de las sumatorias podrían ser primos de alguna forma sería genial 😊. Si no se puede, los dejo con la reflexión de los numeros enteros, en casos de factorizacion, saber que x^3-1= (x-1)(x^2+x^1+x^0) también puede ser muy útil. Próximamente subiré un blog sobre el desarrollo y profundización (sin cálculo diferencial) del modelo de representación de los números enteros.

Problema matemático #2

La representación de números enteros a traves del sistema binario es muy fácil. Intentemos en uno “trinario” es decir, cuando el número al que se van a sumar las potencias no es 2 sino 3, esto abre una nueva posibilidad y es que envés de solo 1 y 0, se debe manejar el 0, el 1 y el 2 en las columnas representación. El número cinco se debe representar en este sistema como 3^1 +2×3^0. Dejo una foto de algunos números y su planteamiento en sistema trinario.

Todos los números enteros se pueden visualizar de esta forma, y podemos ir mas allá, imaginandonos un sistema “cuaternario” “pentario”, “hexario”, etc de representar los números enteros.

Acá un ejemplo de un sistema “pentario”:

Planteamiento problema matemático #1

Algunos están acostumbrados a la notación de números enteros en la forma binaria, otros no. Plantearé el problema desde el principio, enseñando cada uno de los pasos, de tal forma que alguien con más herramientas matemáticas que las mías pueda quizás resolver este teorema (en el proceso verán de que se trata).

1. Notación binaria, la primera fila representa cada una de las potencias de 2 (binario) desde 0 hasta 4, luego, se procederá a representar 5 números para coger la lógica básica de los números binarios con ejemplos.

Todos los números enteros se pueden representar con un método binario de la siguiente forma: